Доходность и волатильность

Итак, рыночный риск часто измеряется дисперсией, разбросом возможных исходов. «Плоский» график функции плотности распределения означает больший риск, «острый» график – меньший риск.

При измерении рыночных рисков в качестве случайной переменной берут доходность (return) финансового актива. Рассмотрим, например, период измерения, равный месяцу. Доходы, измеренные на конец предыдущего месяца, обозначаются индексом i – 1, на конец текущего месяца– i. Арифметическая, или дискретная, доходность r определяется как прирост стоимости актива P плюс такие промежуточные выплаты, как, например, дивиденды или купонные платежи D, при этом промежуточные выплаты реинвестируются только в конце месяца (1):


В долгосрочном плане практикуется использование геометрической, или непрерывно наращенной, доходности х, определяемой как натуральный логарифм отношения стоимостей (цен) с учетом промежуточных выплат (2):

Преимущество использования геометрической доходности двояко. Во-первых, она может быть экономически более содержательной, чем арифметическая доходность. Если геометрическая доходность распределена нормально, это распределение никогда не приведет к тому, чтобы цена была отрицательной, поскольку левый хвост распределения логарифмов отношения цен стремится к –∞ при отношении цен, стремящемся к нулю, т. е. при текущей цене, стремящейся к нулю.

Напротив, в левом хвосте нормально распределенной арифметической доходности величина стремится к –∞ при отрицательной величине текущей цены, что экономически бессмысленно. Поэтому рассмотрение нормального распределения арифметической доходности допускает некоторые аберрации в поведении цен.

Для некоторых данных использование геометрической доходности особенно удобно. Например, обменные валютные курсы могут быть выражены через каждую из двух валют для каждой пары: курс доллара в рублях или курс рубля в долларах. Распределения геометрической доходности любого этих курсов абсолютно симметричны, чего нельзя сказать о распределениях арифметической доходности.

Использование геометрической доходности также удобно при конвертации. Например, австрийский инвестор хочет измерять доходность в евро. Она может быть выведена из данных с базовой валютой в долларах: ln (отношение курсов евро к рублю) = ln (отношение курсов евро к доллару) + ln (отношение курсов рубля к доллару). Тогда геометрическая доходность, выраженная в евро, просто равна разности геометрической доходности рубля, выраженной в долларах, и геометрической доходности евро, выраженной в долларах.

Второе преимущество геометрической доходности заключается в том, что она очень легко применяется для множества периодов. Например, рассмотрим доходность за двухмесячный интервал времени. Геометрическая доходность может быть представлена как сумма двух одномесячных доходностей. Следует добавить, что очень часто разница между арифметической и геометрической доходностями мала. Предположим, xi = ln(Pi / Pi-1) = ln(1+ri). Если ri мало, то xi можно разложить в ряд Тейлора как  Но геометрическая и арифметическая доходности могут иметь существенные различия, если временной горизонт составляет годы или если рынок совершает большие скачки, как на развивающихся рынках. Например, в период галопирующей гиперинфляции в первой половине 90-х гг. в России ставка рефинансирования ЦБ РФ составляла более 200 % годовых, т. е. величина rt была очень значительна и разница между арифметической и геометрической доходностью была большой.

На практике распределение доходности обычно оценивается по ретроспективе, предполагая, что наблюдения одинаково и независимо распределены. Если N – число наблюдений, то ожидаемая доходность m может быть оценена простой средней  а риск, вариация – оценкой дисперсии. Квадратный корень из оценки дисперсии доходности – стандартное отклонение – называют волатильностью (изменчивостью):

Она измеряет риск актива как степень разброса значений доходности вокруг ожидаемого уровня.

На практике волатильность может определяться не только путем расчетов непосредственно по статистике цен актива, но и исходя из моделей ценообразования производных инструментов (опционов). При этом подразумевается, что если модели ценообразования опционов в качестве одной из переменных предполагают использование волатильности базового актива, то можно решить обратную задачу и вычислить по фактическим котировкам опционов предполагаемую волатильность (implied volatility), которая отражает не прошлое (возможно, устаревшее), а текущие ожидания участников рынка (и, конечно, качество модели ценообразования).

В реальности опционов с разными параметрами (например, ценами и сроками исполнения) на один и тот же базовый актив одновременно может быть множество, и предполагаемые волатильности по каждому из них могут не совпадать, поэтому для прогноза применяют различные модели усреднения этих данных.

Пример 1. Расчет и анализ корреляции и волатильности на российском финансовом рынке.

В качестве активов для формирования портфеля были выбраны: доллар США (USD), немецкая марка (DEM) и акции, входящие в расчет индекса РТС (Российской торговой системы). Дневные значения индекса были получены как среднее арифметическое от значений открытия и закрытия индекса на соответствующий день.

Такой выбор активов обусловлен тем, что, несмотря на многообразие инструментов на финансовом рынке, на момент проведения расчетов (лето 2000 г.) иностранная валюта являлась альтернативным направлением вложения капитала. Это объясняется неустойчивостью российского финансового рынка, опасениями инвесторов относительно падения курсов российских ценных бумаг. Включение акций в портфель (покупка пая фонда, имеющего структуру, аналогичную рыночному портфелю), входящих в расчет индекса РТС, должно послужить его диверсификации (индекс РТС выступает индикатором изменения стоимости акций).

Объем выборки значений курсов доллара США, немецкой марки и индекса РТС составил 511 наблюдений (из расчета 255 рабочих дней в году + + 1 день ретроспективы). Таким образом, был охвачен период времени с 29.04.98 по 15.05.2000 включительно.

По этим данным были рассчитаны коэффициенты корреляции (табл. 1). Заметим, что, например, корреляция между доходностями индекса РТС и курса доллара, взятых за два года, почти отсутствует (то же наблюдается и в отношении корреляции немецкой марки и РТС). Однако первое впечатление обманчиво: рассчитав коэффициенты корреляции за каждый год отдельно, можно увидеть, что двухгодичная корреляция складывается из двух довольно больших и противоположных по знаку значений. Продолжая анализ корреляции, можно сказать, что это вызвано изменением поведения инвесторов, которые в 1998-1999 гг. имели хорошую альтернативу вложению капитала в доллары, но после событий августа 1998 г. позиции российских ценных бумаг начали ослабевать. Ослабление корреляции доллара США и немецкой марки в 1999-2000 гг. по сравнению с периодом 1998-1999 гг. вызвано, видимо, введением евро.

Рассматривая волатильность активов, рассчитанную за весь двухлетний период, можно заметить, что самой низкой волатильностью обладает доллар США: это можно связать с тем, что курс доллара регулируется Центральным банком РФ. Почти в два раза этот уровень превосходит волатильность немецкой марки, и на порядок большей волатильностью обладает индекс РТС, что вполне характерно для высокорискованного рынка акций (табл. 2).

Таблица 1

Таблица 2

Интервалы времени, за которые рассчитываются волатильность и другие параметры, могут быть самыми различными: часы, дни, недели, месяцы, кварталы, годы. В связи с этим встает проблема агрегирования – выражения волатильности и ожидаемой доходности для разных периодов. В практике риск-менеджмента широко используется подход, базирующийся на двух сильных допущениях: об эффективности рынка и о том, что на протяжении всего периода времени распределение доходностей остается постоянным.

Предположение об эффективности рынка предусматривает, что текущая цена учитывает всю важную информацию об активе в данный момент времени, цены меняются под действием новостей, которые не были спрогнозированы, поэтому корреляция во времени между ценами равна нулю. Учитывая формулы для математического ожидания и дисперсии суммы некоррелированных случайных величин, получаем, что ожидаемая доходность m и дисперсия пропорциональны времени Т, а волатильность а пропорциональна квадратному корню из переменной времени Т, измеряемому, например, в годах: Например, если ожидаемая доходность актива на эффективном рынке при неизменных условиях за год составляет 24 % годовых, а волатильность актива составляет 36 % за год, то за месяц доходность составит  а волатильность

Важно отметить, что, поскольку волатильность растет пропорционально квадратному корню из времени, а средняя (ожидаемая доходность) – пропорционально времени, на долгосрочных горизонтах планирования доминирует средняя, а на краткосрочных– волатильность. Это является причиной, по которой в качестве измерителя риска в течение дня часто принимают только волатильность, игнорируя уровень ожидаемой доходности (т. е. принимают среднюю равной нулю).

Пример 2. Пусть доходность акций, рассчитанная по годовым данным, составляет 11,1 %, а риск – 15,4 %. Вероятность того, что доходность будет ниже нуля (убыток), можно вычислить по статистическим таблицам, исходя из указанных параметров распределения. Соответствующая вероятность убытков за год для аналогичного нормального распределения составляет 23,6 %. Пользуясь приведенными выше формулами, можно вычислить ожидаемую доходность, волатильность, коэффициент вариации (отношение волатильности к ожидаемой величине), а также вероятность убытка за соответствующие интервалы времени (табл. 3).

Таблица 3

Из табл. 3 видно, что вероятность понести убытки за год (23,6 %) гораздо ниже, чем вероятность понести убытки за день (48,2 %). Это наблюдение обосновывает рассуждения о том, что долгосрочные инвестиции в акции менее рискованны, чем краткосрочные. Это, однако, не всегда верно, поскольку величина убытков может накапливаться со временем.

Пример 3. В качестве примера, иллюстрирующего применение мер риска, можно привести показатель рентабельности капитала с учетом риска (risk-adjusted return on capital – RAROC), разработанный Bankers Trust в конце 1970-х гг. Сравним работу, например, двух трейдеров, каждый из которых получил прибыль 10 млн долл., но один получил ее на рынке государственных облигаций США, а другой – на валютном рынке. Кто из трейдеров сработал лучше? И куда должна фирма направить больше капитала? Показатель RAROC рассчитывает прибыль на капитал с учетом риска, который определяется как размер капитала, необходимый, чтобы покрыть 99 % максимального ожидаемого за год убытка.

Предположим, трейдер имеет открытую позицию по валютным контрактам на сумму 100 млн долл., а волатильность евро к доллару составляет 12 % за год. Фирма хочет держать достаточно капитала, чтобы покрыть 99 % возможных убытков. Поскольку 1 % для функции нормального распределения соответствует 2,326 стандартных отклонений от средней (табл. 4), наихудший ожидаемый убыток составит 2,326 • 0,12 • 100 = 28 млн долл. Тогда за оценку эффективности работы трейдера можно принять отношение прибыли на достаточный для покрытия рисков капитал RAROC = 10/28 = 36 %.

Приведем таблицу квантилей нормального распределения, выраженных в количестве стандартных отклонений, соответствующих вероятностям отклонения от среднего.

Таблица 4

Рассмотрим теперь результаты работы трейдера по облигациям. Предположим, что выигрыш был получен на среднюю номинальную величину 200 млн долл., а волатильность этих облигаций составляет около 4 %. Максимальный убыток составит тогда 2,326 • 0,04 • 200 млн долл. = 19 млн долл. Величина RAROC для этого трейдера составляет 10/19 = 53 %. Скорректировав рентабельность на капитал с учетом риска, мы видим, что трейдер по облигациям оказался более эффективным. Посредством вознаграждения трейдеров, основанного на показателе RAROC, корректировка по риску улучшает культуру риск-менеджмента в банке.

RAROC может также использоваться для установки торговых лимитов. Например, трейдер, который потерял 10 % капитала по своей оценке RAROC за месяц, должен будет остановить торговлю.

Похожие статьи

Рассчитать стоимость